问答题
《全日制普通高级中学教科书(必修).数学》第八章第一节《椭圆及其标准方程》是用坐标法探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，在此基础上完成下列问题： (1)在学习本内容前，学生已具备了哪些相关知识和数学活动经验? (2)写出本内容的教学重点和教学难点。 (3)设计本内容的教学过程。
【正确答案】正确答案：(1)解析几何是数学的一个重要分支，它沟通了数学中数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。在之前的学习中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法，并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形，在第八章，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。之前学生已经具备了观察、操作、讨论等教学活动经验；分类活动经验；抽象、归纳的经验。 (2)教学重难点 重点：椭圆的定义及标准方程，坐标法的基本思想； 难点：椭圆标准方程的推导与化简。 (3)教学过程 (一)创设情境，认识椭圆。 材料：对椭圆的感性认识，通过演示课前准备的生活中有关椭．圆的实物和图片，学生从感性上认识椭圆。 引入课题：椭圆及其标准方程。 (二)动手实验，亲身体会。 教师演示。引出研究思路。 思考：在上一章圆的学习中我们知道：平面内到一定点的距离为定长的点的轨迹是圆。那么，到两定点距离之和等于常数的点的轨迹又是什么呢?(学生分组试验) 试验一：用事先准备好的绳子，把它的两端都固定在同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个什么图形? 提问1：在整个过程中什么不变? 提问2：笔尖(动点)满足什么几何条件? 试验二：如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点F
1
、F
2
处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖(肘)，画出的又是什么图形?(教师巡视指导，展示学生成果) 分析实验，得出规律。 提问1：在画出一个椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的? 提问2：在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有?说明了什么? 提问3：在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系? 提问4：改变绳子长度与两定点距离的大小，轨迹又是什么? 学生总结规律：｜MF
1
｜＋｜MF
2
｜＞｜F
1
F
2
｜轨迹为椭圆； ｜MF
1
｜＋｜MF
2
｜＝｜F
1
F
2
｜轨迹为线段； ｜MF
1
｜＋｜MF
2
｜＜｜F
1
F
2
｜轨迹不存在。 (三)总结归纳，形成概念。 定义：平面内，到两个定点F
1
、F
2
的距离之和等于常数(大于｜F
1
F
2
｜)的点的轨迹叫做椭圆。 提问：椭圆定义还可以用集合语言如何表示? 例题：边学边用。深化理解定义 用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆? (1)到F
1
(－2，0)、F
2
(2，0)的距离之和为6的点的轨迹； (2)到F
1
(0，－2)、F
2
(0，2)的距离之和为4的点的轨迹； (3)到F
1
(－2，0)、F
2
(2，0)的距离之和为3的点的轨迹。 1．复习求曲线的方程的基本步骤： (1)建系；(2)设点；(3)列式；(4)化简；(由学生回答，不正确的教师给予纠正。) 2．如何选取坐标系? 教师分析椭圆，学生观察椭圆的几何特征(对称性)，如何建系能使方程更简洁? 学生讨论，经过比较确定方案：把F
1
、F
2
建在χ轴上，以F
1
F
2
的中点为原点，或者把F
1
、F
2
建在y轴上，以F
1
F
2
的中点为原点。 3．推导标准方程。 选取建系方法，让学生动手，尝试推导。 (请两位同学上台同时演示两种建系方法并推导方程) 例如：以过F
1
、F
2
的直线为χ轴，线段F
1
F
2
的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系。设｜F
1
F
2
｜＝2c(c＞0)，点M(χ，y)为椭圆上任意一点， 则P＝{M｜MF
1
｜＋｜MF
2
｜＝2a}(称此式为几何条件)， ∴得
＝2a(实现集合条件代数化)， (想一想：下面怎样化简?)
(1)教师为突破难点。进行引导设问： 我们怎么化简带根式的式子?对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢? 化简，得(a
2
－c
2
)χ
2
＋a
2
y
2
＝a
2
(a
2
－c
2
)。 (2)b的引入。 由椭圆的定义可知，2a＞2c，∴a
2
－c
2
＞0。 让点M运动到y轴正半轴上(如图)，由学生观察图形直观获得a，c的几何意义，进而自然引进b，此时设b
2
＝a
2
－c
2
，于是得b
2
χ
2
＋a
2
y
2
＝a
2
b
2
，两边同时除以a
2
b
2
，得到方程：
＝1(a＞b＞0)(称为椭圆的标准方程)。 同理：建立焦点在y轴上的椭圆的标准方程。 4．相互比较，深化理解两种标准方程 学生讨论：如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上?
得出结论：椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定(焦点在分母大的坐标轴上) 5．归纳概括．掌握特征。 (1)椭圆标准方程形式： 它们都是二元二次方程，左边是两个分式的平方和，右边是1； (2)椭圆标准方程中三个参数a，b，c的关系：b
2
＝a
2
－c
2
(a＞b＞0)； (3)椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定。 (四)尝试应用。范例教学。 例1．下列哪些是椭圆的方程，如果是。判断它的焦点在哪个坐标轴上?并指明a、b，写出焦点坐标。
例2．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10. 变式一：将上题焦点改为(0．－4)、(0，4)，结果如何? 变式二：将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10，结果如何? 例3．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别是(0，－2)、(0，2)，并且经过点
＝2a(实现集合条件代数化)， (想一想：下面怎样化简?)
(1)教师为突破难点。进行引导设问： 我们怎么化简带根式的式子?对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢? 化简，得(a
2
－c
2
)χ
2
＋a
2
y
2
＝a
2
(a
2
－c
2
)。 (2)b的引入。 由椭圆的定义可知，2a＞2c，∴a
2
－c
2
＞0。 让点M运动到y轴正半轴上(如图)，由学生观察图形直观获得a，c的几何意义，进而自然引进b，此时设b
2
＝a
2
－c
2
，于是得b
2
χ
2
＋a
2
y
2
＝a
2
b
2
，两边同时除以a
2
b
2
，得到方程：
＝1(a＞b＞0)(称为椭圆的标准方程)。 同理：建立焦点在y轴上的椭圆的标准方程。 4．相互比较，深化理解两种标准方程 学生讨论：如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上?
得出结论：椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定(焦点在分母大的坐标轴上) 5．归纳概括．掌握特征。 (1)椭圆标准方程形式： 它们都是二元二次方程，左边是两个分式的平方和，右边是1； (2)椭圆标准方程中三个参数a，b，c的关系：b
2
＝a
2
－c
2
(a＞b＞0)； (3)椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定。 (四)尝试应用。范例教学。 例1．下列哪些是椭圆的方程，如果是。判断它的焦点在哪个坐标轴上?并指明a、b，写出焦点坐标。
例2．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10. 变式一：将上题焦点改为(0．－4)、(0，4)，结果如何? 变式二：将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10，结果如何? 例3．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别是(0，－2)、(0，2)，并且经过点
【答案解析】