解答题
24.设3阶方阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2，试证(1)r(A)=2；(2)若α1+α2+α3=β，求Ax=β的通解．
【正确答案】(1)由于α3=α1+2α2知r(A)＜3，所以0是A的一个特征值，又由于A的3个特征值各不相同，故A可对角化，且A有两个非零特征值，从而r(A)=2．所以Ax=0的基础解系只有一个线性无关的解向量．
(2)由α1+2α2－α3=0得
从而得Ax=β的基础解系为
再由α1+α2+α3=β得
从而得Ax=β的一个特解为
故Ax=β的通解为
(2)由α1+2α2－α3=0得
从而得Ax=β的基础解系为
再由α1+α2+α3=β得
从而得Ax=β的一个特解为
故Ax=β的通解为
【答案解析】