解答题
17.
设A是n阶矩阵，α
1
，α
2
，α
3
是n维列向量，且α
1
≠0，Aα
1
=α
1
，Aα
2
=α
1
+α
2
，Aα
3
=α
2
+α
3
，试证α
1
，α
2
，α
3
线性无关．
【正确答案】
由Aα
1
=α
1
，Aα
2
=α
1
+α
2
，Aα
3
=α
2
+α
3
，得(A-E)α
1
=0，(A-E)α
2
=α
1
，(A-E)α
3
=α
2
．
设数λ
1
，λ
2
，λ
3
，使
λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+λ
3
α
3
=0， (1)
用A-E左乘上式两边，得
λ
2
α
1
+λ
3
α
2
=0． (2)
再用A-E左乘(2)式两边，得
λ
3
α
1
=0．
而α
1
≠0，于是λ
3
=0．代入(1)、(2)，得
λ
2
=0，λ
1
=0，
故α
1
，α
2
，α
3
线性无关．
【答案解析】
本题考查向量组线性相关性的概念，是比较典型的证明方法．
提交答案
关闭