【正确答案】正确答案：（Ⅰ）若A，B相似，那么存在可逆矩阵P，使P ^—1 AP=B，则 |λE一B| =|λE—P ^—1 AP|=|P ^—1 AEP—P ^—1 AP| =|P ^—1 （λE—A）P| =|p ^—1 |λE—A ||P|=|λE一A|。 所以A、B的特征多项式相等。 （Ⅱ）令 那么|λE一A|=λ ² =|λE—B|。但是A，B不相似。否则，存在可逆矩阵P，使P ^—1 AP=B=D，从而A：POP ^—1 =D与已知矛盾。也可从r（A）=1，r（B）=0，知A与B不相似。 （Ⅲ）由A，B均为实对称矩阵知，A，B均相似于对角阵，若A，B的特征多项式相等，记特征多项式的根为λ ₁ ，…，λ _n ，则有 所以存在可逆矩阵P，Q，使P ^—1 AP=