问答题
设A，B为同阶方阵，
问答题
如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等．
【正确答案】证 由A，B相似知，存在可逆方阵P，使P-1AP=B，故
｜λE-B｜=｜λE-P-1-1AP｜=｜P-1λEP-P-1AP｜
=｜P-1(λE-A)P｜=｜P-1｜｜λE-A｜｜P｜
=｜P-1｜｜P｜｜λE-A｜=｜λE-A｜
｜λE-B｜=｜λE-P-1-1AP｜=｜P-1λEP-P-1AP｜
=｜P-1(λE-A)P｜=｜P-1｜｜λE-A｜｜P｜
=｜P-1｜｜P｜｜λE-A｜=｜λE-A｜
【答案解析】
问答题
举一个二阶方阵的例子说明逆命题不成立．
【正确答案】令[*]，则有
｜λE-A｜=λ2=｜λE-B｜，
但A，B不相似．否则，存在可逆矩阵P，使
P-1AP=B=O，
从而A=POP-1=O，这与A≠O矛盾．
｜λE-A｜=λ2=｜λE-B｜，
但A，B不相似．否则，存在可逆矩阵P，使
P-1AP=B=O，
从而A=POP-1=O，这与A≠O矛盾．
【答案解析】
问答题
当A，B均为实对称矩阵时，试证逆命题成立．
【正确答案】由A，B均为实对称矩阵知，A，B均相似于对角阵．若A，B的特征多项式相等，则A与B有相同的特征值，设A(B)的全部特征值为λ1，λ2，…，λ3，则A，B都相似于对角阵
[*]
即存在适当的可逆矩阵P、Q，使
[*]
于是有
(PQ-1)-1A(PQ-1)=B
由PQ-1可逆知A与B相似．
[*]
即存在适当的可逆矩阵P、Q，使
[*]
于是有
(PQ-1)-1A(PQ-1)=B
由PQ-1可逆知A与B相似．
【答案解析】本题考查相似矩阵及实对称矩阵的有关基本知识．说明“同阶方阵相似的一个必要条件是它们的特征多项式相等(从而特征值相同)”，一般的线性代数教材都会讲到这一性质，是很基本的考点，证明实际上还利用了矩阵“相似”的“对称性”和“传递性”．
问答题
设矩阵
【正确答案】本题是三阶方阵的一系列常规计算问题，按部就班也不难作出来．但如果利用相似矩阵及矩阵特征值的一些常用性质(例如：(1)若A与B相似，则对任意多项式厂，有f(A)与f(B)相似．(2)相似矩阵有相同的特征值．等等)，则本题运算还可简化．
解1 经计算可得
[*]
于是由B+2E的特征方程
[*]
得B+2E的特征值为 λ1=λ2=9，λ3=3．
对于λ1=λ2=9，由
[*]
得对应的线性无关特征向量可取为
[*]
所以对应于特征值λ1=λ2=9的全部特征向量为
k1η1+k2η2=k1(-1，1，0)T+k2(-2，0，1)T
其中k1，k2是不全为零的任意常数．
对于λ3=3，对应的一个特征向量可取为
η3=(0，1，1，)T
所以对应于特征值λ3=3的全部特征向量为k3η3=k3(0，1，1)T，其中k3是不为零的任意常数．
解2 设A的特征值为λ，对应的特征向量为η，即Aη=λη，由于｜A｜=7≠0，所以λ≠0．又因A*A=｜A｜E=7E，故由Aη=λη两端左乘A*，即得[*]，于是有
B(P-1η)=P-1A*p(p-1η)=P-1(A*η))=[*]
(B+2E)P-1η=[*]
因此，[*]为B+2E的特征值，对应的特征向量为P-1η．
计算可得A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=7；对应于λ1=λ2=1的线性无关特征向量可取为
[*]
对应于λ3=7的一个特征向量可取为η3=(1，1，1)T．
由[*]，得
[*]
因此，B+2E的全部特征值为9，9，3；对应于特征值9的全部特征向量为
[*]
其中k1，k2是不全为零的任意常数；对应于特征值3的全部特征向量为
[*]，其中k3是不为零的任意常数．
△解3 计算可得A的特征值为1，1；7．对应的线性无关特征向量分别可取为
[*]
因｜A｜=7，利用A与A*的特征值及特征向量的关系，可得A*的特征值为7，7；1．对应的线性无关特征向量分别可取为η1，η2；η3．
再利用方阵A*与其多项式A*+2E的特征值及特征向量的关系，可得A*+2E的特征值为9，9；3．对应的线性无关特征向量分别可取为η1，η2；η3．
由题设条件B=P-1A*P．可得B+2E=P-1(A*+2E)P，即B+2E与A*+2E相似，因此，B+2E与A*+2E有相同的特征值：9，9；3．且由
(A*+2E)ηi=μiηi，(i=1，2，3)
可得
(B+2E)P-1ηi=(P-1A*P+2E)P-1ηi=P-1(A*十2E)PP-1ηi
=P-1(A*+2E)ηi=P-1(μiηi)=μi(P-1ηi)， (i=1，2，3)
因此，B+2E对应于特征值9的线性无关特征向量可取为P-1，η1，P-1η2，；对应于特征值3的一个特征向量为P-1η3．以下同解法2．
解1 经计算可得
[*]
于是由B+2E的特征方程
[*]
得B+2E的特征值为 λ1=λ2=9，λ3=3．
对于λ1=λ2=9，由
[*]
得对应的线性无关特征向量可取为
[*]
所以对应于特征值λ1=λ2=9的全部特征向量为
k1η1+k2η2=k1(-1，1，0)T+k2(-2，0，1)T
其中k1，k2是不全为零的任意常数．
对于λ3=3，对应的一个特征向量可取为
η3=(0，1，1，)T
所以对应于特征值λ3=3的全部特征向量为k3η3=k3(0，1，1)T，其中k3是不为零的任意常数．
解2 设A的特征值为λ，对应的特征向量为η，即Aη=λη，由于｜A｜=7≠0，所以λ≠0．又因A*A=｜A｜E=7E，故由Aη=λη两端左乘A*，即得[*]，于是有
B(P-1η)=P-1A*p(p-1η)=P-1(A*η))=[*]
(B+2E)P-1η=[*]
因此，[*]为B+2E的特征值，对应的特征向量为P-1η．
计算可得A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=7；对应于λ1=λ2=1的线性无关特征向量可取为
[*]
对应于λ3=7的一个特征向量可取为η3=(1，1，1)T．
由[*]，得
[*]
因此，B+2E的全部特征值为9，9，3；对应于特征值9的全部特征向量为
[*]
其中k1，k2是不全为零的任意常数；对应于特征值3的全部特征向量为
[*]，其中k3是不为零的任意常数．
△解3 计算可得A的特征值为1，1；7．对应的线性无关特征向量分别可取为
[*]
因｜A｜=7，利用A与A*的特征值及特征向量的关系，可得A*的特征值为7，7；1．对应的线性无关特征向量分别可取为η1，η2；η3．
再利用方阵A*与其多项式A*+2E的特征值及特征向量的关系，可得A*+2E的特征值为9，9；3．对应的线性无关特征向量分别可取为η1，η2；η3．
由题设条件B=P-1A*P．可得B+2E=P-1(A*+2E)P，即B+2E与A*+2E相似，因此，B+2E与A*+2E有相同的特征值：9，9；3．且由
(A*+2E)ηi=μiηi，(i=1，2，3)
可得
(B+2E)P-1ηi=(P-1A*P+2E)P-1ηi=P-1(A*十2E)PP-1ηi
=P-1(A*+2E)ηi=P-1(μiηi)=μi(P-1ηi)， (i=1，2，3)
因此，B+2E对应于特征值9的线性无关特征向量可取为P-1，η1，P-1η2，；对应于特征值3的一个特征向量为P-1η3．以下同解法2．
【答案解析】本题综合考查伴随矩阵、逆矩阵、矩阵乘法、特征值与特征向量等基本概念与基本计算．注意在解法1中计算A*时可简化计算：由A的主对角线元素全相同、主对角线以外的元素全相同，根据伴随矩阵的定义，可知A*的主对角线元素全相同、主对角线以外的元素也全相同．根据笔者在2003年阅卷中看到的情况，许多谢l练有素的考生都能准确简捷地解对此题．一些考生在做本题中存在的主要问题是：
(1)未掌握伴随矩阵的定义，不会计算A*或计算错误；
(2)计算特征值的典型错误作法：先将矩阵A用初等变换化成阶梯形矩阵M，再将M的特征值作为A的特征值；
(3)不少考生虽能利用本题解法3的方法正确求出B+2E的特征值，但却错误地认为两个相似矩阵的对应于同一个特征值的特征向量也是相同的，从而将A*+2E的特征向量、即A的特征向量作为B+2E的特征向量．
为了强调这一问题，下面再举一例以明之：矩阵
[*]与[*]
是相似的，它们有相同的特征值λ1=2，λ2=0．但是，对应于特征值λ1=2，A的特征向量为k1(1，1)T(k1≠0)，而D的特征向量为s1(1，0)T(s1≠0)；对应于λ2=0，A的特征向量为k2(1，-1)T(k2≠0)，而D的特征向量为s2(0，1)T(s2≠0)．此例表明，两个相似矩阵的属于同一特征值的特征向量一般是不同的．
那么正确的结论究竟是什么?设A与B相似：P-1AP=B，λ0为A的特征值且ξ为对应的特征向量：Aξ=λ0ξ．则由B(P-1ξ)=P-1AP(P-1ξ)=P-1(λ0ξ)=P-1(Aξ)=A。(P-1ξ)，及P-1ξ≠0，可知：方阵B的对应于特征值λ0的特征向量为P-1ξ．
(1)未掌握伴随矩阵的定义，不会计算A*或计算错误；
(2)计算特征值的典型错误作法：先将矩阵A用初等变换化成阶梯形矩阵M，再将M的特征值作为A的特征值；
(3)不少考生虽能利用本题解法3的方法正确求出B+2E的特征值，但却错误地认为两个相似矩阵的对应于同一个特征值的特征向量也是相同的，从而将A*+2E的特征向量、即A的特征向量作为B+2E的特征向量．
为了强调这一问题，下面再举一例以明之：矩阵
[*]与[*]
是相似的，它们有相同的特征值λ1=2，λ2=0．但是，对应于特征值λ1=2，A的特征向量为k1(1，1)T(k1≠0)，而D的特征向量为s1(1，0)T(s1≠0)；对应于λ2=0，A的特征向量为k2(1，-1)T(k2≠0)，而D的特征向量为s2(0，1)T(s2≠0)．此例表明，两个相似矩阵的属于同一特征值的特征向量一般是不同的．
那么正确的结论究竟是什么?设A与B相似：P-1AP=B，λ0为A的特征值且ξ为对应的特征向量：Aξ=λ0ξ．则由B(P-1ξ)=P-1AP(P-1ξ)=P-1(λ0ξ)=P-1(Aξ)=A。(P-1ξ)，及P-1ξ≠0，可知：方阵B的对应于特征值λ0的特征向量为P-1ξ．