设A是三阶矩阵，α
1
，α
2
，α
3
为三个三维线性无关的列向量，且满足Aα
1
＝α
2
＋α
3
，Aα
2
＝α
1
＋α
3
，Aα
3
＝α
1
＋α
2
．
(1)求矩阵A的特征值；
(2)判断矩阵A可否对角化．
【正确答案】正确答案：(1)因为α
1
，α
2
，α
3
线性无关，所以α
1
＋α
2
＋α
3
≠0， 由A(α
1
＋α
2
＋α
3
)＝2(α
1
＋α
2
＋α
3
)，得A的一个特征值为λ
1
＝2； 又由A(α
1
－α
2
)＝－(α
1
－α
1
)，A(α
2
－α
3
)＝－(α
2
－α
3
)， 得A的另一个特征值为λ
2
＝－1．因 为α
1
，α
2
，α
3
线性无关，所以α
1
－α
2
与α
2
－α
3
也线性无关，所以 λ
2
＝－1为矩阵A的二重 特征值，即A的特征值为2，－1，－1． (2)因为α
1
－α
2
，α
2
－α
3
为属于二重特征值－1的两个线性无关的特征向量，所以A一定 可以对角化．
【答案解析】