问答题
问答题
求定积分
【正确答案】[*]
现作变换[*]，θ:0→π[*]t:0→+∞于是，
[*]
[*]
【答案解析】
问答题
求定积分
【正确答案】[*]令θ=π-x作换元，于是x=π-θ，dx=-dθ，且x:0→π[*]θ：π→0，sinx=sin(π-θ)=sinθ．代入可得
[*]
故[*]
【答案解析】
问答题
设函数F(u，υ)具有二阶连续偏导数，且z=F(x+y，x+y+z)确定隐函数z=z(x，y)，求
【正确答案】将方程z=F(x+y，x+y+z)求全微分，由一阶全微分形式不变性即得
[*]
由此解得[*]
从而[*]．继续求偏导数即知
[*]
把[*]代入上式就有
[*]
【答案解析】
问答题
设积分区域D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，求
【正确答案】因积分区域D关于直线y=x对称，被积函数[*]，令
D1={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤x}
就有[*]
令x=Fcosθ，y=rsinθ引入极坐标，即知[*]dσ=rdrdθ，代入即得
[*]
[*]
方法1
[*]
方法2
[*]
D1={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤x}
就有[*]
令x=Fcosθ，y=rsinθ引入极坐标，即知[*]dσ=rdrdθ，代入即得
[*]
[*]
方法1
[*]
方法2
[*]
【答案解析】
问答题
求凹曲线y=y(x)，使得曲线上任一点处的曲率
【正确答案】由题意知
[*]
又tanα=y'，故[*]，代入得[*]
令p=y'，则[*]，从而有
[*]即[*]
两边积分得[*]
又由题设知当x=1时y=1，p=y'=0，故C1=0，从而y=1+p2．
解得p=±[*]，即[*]，分离变量就有±[*]．两边积分，得±2[*]=x+C2．又由x=1时y=1知C2=-1，所以±2[*]=x-1，化简得
[*]
[*]
又tanα=y'，故[*]，代入得[*]
令p=y'，则[*]，从而有
[*]即[*]
两边积分得[*]
又由题设知当x=1时y=1，p=y'=0，故C1=0，从而y=1+p2．
解得p=±[*]，即[*]，分离变量就有±[*]．两边积分，得±2[*]=x+C2．又由x=1时y=1知C2=-1，所以±2[*]=x-1，化简得
[*]
【答案解析】
问答题
设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内具有二阶导数，且f(0)=f(2)=0，f(1)=2．求证：至少存在一点ξ∈(0，2)使得f"(ξ)=-4．
【正确答案】[解一] 按题设可把函数f(x)在x=1处展开为泰勒公式，得
[*]， (*)
在(*)式中分别令x=0与x=2，并利用f(1)=2即知
[*]
把以上两式相加就有
[*]
这样一来，若f"(ξ1)=f"(ξ2)，则f"(ξ1)=f"(ξ2)=-4．从而这时ξ可取为ξ1或ξ2．若f"(ξ1)≠f"(ξ2)，这时[*][f"(ξ1)+f"(ξ2)]=-4就是f"(ξ1)与f"(ξ2)的一个中间值，按导函数的中间值定理(又称为达布定理)即知存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](0，2)使得f"(ξ)=-4．
导函数的中间值定理又称达布定理，它可以叙述为：若函数f(x)在区间[a，b]上可导，且f'(a)≠f'(b)，则对于任何满足min{f'(a)，f'(b))}≤μ≤max{f'(a)，f'(b)}的常数μ,存在ξ∈[a，b]使得f'(ξ)=μ．
[解二] 转化为证明某函数的二阶导数在(0，2)[*]零点．设
g"(x)=-4．令F(x)=f(x)-g(x)则[*]∈(0，2)，使f"(ξ)=4[*]F"(ξ)=0．
注意g(x)=-2x2+c1x+c2，于是
F(0)=f(0)-g(0)=-c2
F(1)=f(1)-g(1)=4-c1-c2
F(2)=f(2)-g(2)=8-2c1-c2
为使F(0)=F(1)=F(2)，取c1=4，c2=0，F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-(-2x2+4x)满足F(0)=F(1)=F(2)=0．由于函数F(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，因而可在区间[0，1]与[1，2]上分别对函数F(x)应用罗尔定理，从而知分别存在η1∈(0，1)与η2∈(1，2)使得F'(η1)=F'(η2)=0，由题设知F'(x)在区间[η1，η2]上也满足罗尔定理的条件，再在区间[η1，η2]上对导函数F'(x)应用罗尔定理，又知存在ξ∈(η1，η2)[*](0，2)使得F"(ξ)=f"(ξ)-g"(ξ)=0，即f"(ξ)=g"(ξ)=-4成立．
[*]， (*)
在(*)式中分别令x=0与x=2，并利用f(1)=2即知
[*]
把以上两式相加就有
[*]
这样一来，若f"(ξ1)=f"(ξ2)，则f"(ξ1)=f"(ξ2)=-4．从而这时ξ可取为ξ1或ξ2．若f"(ξ1)≠f"(ξ2)，这时[*][f"(ξ1)+f"(ξ2)]=-4就是f"(ξ1)与f"(ξ2)的一个中间值，按导函数的中间值定理(又称为达布定理)即知存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](0，2)使得f"(ξ)=-4．
导函数的中间值定理又称达布定理，它可以叙述为：若函数f(x)在区间[a，b]上可导，且f'(a)≠f'(b)，则对于任何满足min{f'(a)，f'(b))}≤μ≤max{f'(a)，f'(b)}的常数μ,存在ξ∈[a，b]使得f'(ξ)=μ．
[解二] 转化为证明某函数的二阶导数在(0，2)[*]零点．设
g"(x)=-4．令F(x)=f(x)-g(x)则[*]∈(0，2)，使f"(ξ)=4[*]F"(ξ)=0．
注意g(x)=-2x2+c1x+c2，于是
F(0)=f(0)-g(0)=-c2
F(1)=f(1)-g(1)=4-c1-c2
F(2)=f(2)-g(2)=8-2c1-c2
为使F(0)=F(1)=F(2)，取c1=4，c2=0，F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-(-2x2+4x)满足F(0)=F(1)=F(2)=0．由于函数F(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，因而可在区间[0，1]与[1，2]上分别对函数F(x)应用罗尔定理，从而知分别存在η1∈(0，1)与η2∈(1，2)使得F'(η1)=F'(η2)=0，由题设知F'(x)在区间[η1，η2]上也满足罗尔定理的条件，再在区间[η1，η2]上对导函数F'(x)应用罗尔定理，又知存在ξ∈(η1，η2)[*](0，2)使得F"(ξ)=f"(ξ)-g"(ξ)=0，即f"(ξ)=g"(ξ)=-4成立．
【答案解析】