设函数f(x)二阶可导，f"(x)≥0，x∈(一∞，+∞)，函数u在区间[a，b](a＞0)上连续，证明：
【正确答案】正确答案：令
将f(x)在x=x
0
处展开成一阶泰勒公式： f(x)=f(x
0
)+f"(x
0
)(x一x
0
)+
(x一x
0
)
2
由于f"(x)≥0，则f(x)≥f(x
0
)+f"(x
0
)(x一x
0
)。 令x=u(t)，则f(u(t))≥f(x
0
)+f"(x
0
)(u(t)一x
0
)。 上式两边[0，a]在上对t积分，得 ∫
0
a
f[u(t)]dt≥∫
0
a
f(x
0
)dt+∫
0
a
f"(x
0
)[(u(t)一x
0
)]dt=af(x
0
)+f"(x
0
)[∫
0
a
[(u(t)一x
0
)]dt=af(x
0
)
将f(x)在x=x
0
处展开成一阶泰勒公式： f(x)=f(x
0
)+f"(x
0
)(x一x
0
)+
(x一x
0
)
2
由于f"(x)≥0，则f(x)≥f(x
0
)+f"(x
0
)(x一x
0
)。 令x=u(t)，则f(u(t))≥f(x
0
)+f"(x
0
)(u(t)一x
0
)。 上式两边[0，a]在上对t积分，得 ∫
0
a
f[u(t)]dt≥∫
0
a
f(x
0
)dt+∫
0
a
f"(x
0
)[(u(t)一x
0
)]dt=af(x
0
)+f"(x
0
)[∫
0
a
[(u(t)一x
0
)]dt=af(x
0
)
【答案解析】