求解下列方程：
(Ⅰ)求方程χy〞＝y′lny′的通解；
(Ⅱ)求yy〞＝2(y
′2
－y′)满足初始条件y(0)＝1，y′＝(0)＝2的特解．
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)此方程不显含y．令p＝y′，则原方程化为χp′＝plnp． 当p≠1时，可改写为
，其通解为 ln｜lnp｜＝ln｜χ｜＋C′，即lnp＝C
1
χ，即y′＝
． 这样，原方程的通解即为y＝
＋C
2
，其中C
1
≠0，C
2
为任意常数． 当P＝1时，也可以得到一族解y＝χ＋C
3
． (Ⅱ)此方程不显含χ．令p＝y′，且以y为自变量，
，原方程可化为yp
＝2(p
2
－p)． 当p≠0时，可改写为y
＝2(p－1)或
，解为p－1＝C
1
y
2
． 再利用P＝y′，以及初始条件，可推出常数C
1
＝1．从而上述方程为变量可分离的方程 y′＝1＋y
2
其通解为y＝tan(χ＋C
2
)． 再一次利用初始条件y(0)＝1，即得C
2
＝
．所以满足初始条件的特解为y＝tan(χ＋
，其通解为 ln｜lnp｜＝ln｜χ｜＋C′，即lnp＝C
1
χ，即y′＝
． 这样，原方程的通解即为y＝
＋C
2
，其中C
1
≠0，C
2
为任意常数． 当P＝1时，也可以得到一族解y＝χ＋C
3
． (Ⅱ)此方程不显含χ．令p＝y′，且以y为自变量，
，原方程可化为yp
＝2(p
2
－p)． 当p≠0时，可改写为y
＝2(p－1)或
，解为p－1＝C
1
y
2
． 再利用P＝y′，以及初始条件，可推出常数C
1
＝1．从而上述方程为变量可分离的方程 y′＝1＋y
2
其通解为y＝tan(χ＋C
2
)． 再一次利用初始条件y(0)＝1，即得C
2
＝
．所以满足初始条件的特解为y＝tan(χ＋
【答案解析】