设α
1
,α
2
，…，α
r
，和β
1
β
2
，…，β
s
是两个线性无关的n维向量．证明：向量组{α
1
,α
2
，…，α
r
；β
1
β
2
，…，β
s
}线性相关甘存在非零向量r，它既可用α
1
,α
2
，…，α
r
线性表示，又可用β
1
β
2
，…，β
s
线性表示．
【正确答案】正确答案：“→”因为{α
1
,α
2
，…，α
r
；β
1
β
2
，…，β
s
}线性相关，所以存在c
1
，c
2
，…，c
r
，c
r+1
，…c
r+s
不全为0，使得 c
1
α
1
+c
2
α
2
+…+c
r
α
r
+c
r+1
β
1
+c
1+2
β
2
+…+c
r+s
β
s
=0 记γ=c
1
α
1
+c
2
α
2
+…+c
r
α
r
=一(c
r+1
β
1
+c
r+2
β
2
+…+c
r+s
β
s
)，则γ≠0(否则由α
1
,α
2
，…，α
r
和β
1
β
2
，…，β
s
都线性无关，推出c
1
，c
2
，…，c
r
，c
r+1
，…，c
r+s
全为0)，并且它既可用α
1
,α
2
，…，α
r
表示，又可用β
1
β
2
，…，β
s
表示． “←”设γ≠0，它既可用α
1
，…，α
r
，表示，又可用β
1
，…，β
s
表示． 记γ=c
1
α
1
+c
2
α
2
+…+c
r
α
s
=t
1
β
1
+t
2
β
2
+…+t
s
β
s
，则c
1
，c
2
，…，c
r
和t
1
，t
2
，…，t
s
都不全为0，而c
1
α
1
+c
2
α
2
+…+c
r
α
s
一t
1
β
1
一t
2
β
2
一…一t
s
β
s
=0． 根据定义，{α
1
,α
2
，…，α
r
；β
1
β
2
，…，β
s
}线性相关．
【答案解析】