(2009年)设y＝y(χ)在区间(－π，π)内过点(
【正确答案】正确答案：曲线在(χ，y)处的法线方程为 Y－y＝－
(X－χ) 由于当－π＜χ＜0时，法线过原点，所以有y＝－
．由此可得，y
2
＝－χ
2
＋C． 因为点(
)在曲线上，所以C＝π
2
， 则所求曲线为χ
2
＋y
2
＝π
2
(－π＜χ＜0)． 当0≤χ≤π时，由y〞＋y＋χ＝0解得，y＝C
1
cosχ＋C
2
sinχ－χ 由于曲线是光滑的，则 y(0－0)＝y(0＋0)，y′
-
(0)＝y′
+
(0) 而y(0－0)＝π，y(0＋0)＝C
1
，则C
1
＝π． y′
-
＝(0)＝0，y′
+
(0)＝C
2
－1，则C
2
＝1 故
(X－χ) 由于当－π＜χ＜0时，法线过原点，所以有y＝－
．由此可得，y
2
＝－χ
2
＋C． 因为点(
)在曲线上，所以C＝π
2
， 则所求曲线为χ
2
＋y
2
＝π
2
(－π＜χ＜0)． 当0≤χ≤π时，由y〞＋y＋χ＝0解得，y＝C
1
cosχ＋C
2
sinχ－χ 由于曲线是光滑的，则 y(0－0)＝y(0＋0)，y′
-
(0)＝y′
+
(0) 而y(0－0)＝π，y(0＋0)＝C
1
，则C
1
＝π． y′
-
＝(0)＝0，y′
+
(0)＝C
2
－1，则C
2
＝1 故
【答案解析】