问答题
当x≥0，证明∫
0
x
(t—t
2
)sin
2n
tdt≤
【正确答案】正确答案：令f(x)=∫
0
x
(t—t
2
)sin
2n
tdt，则f(x)在[0，+∞)可导，f'(x)=(x一x
2
)sin
2n
x．当0＜x＜1时，f'(x)＞0；当x＞1时，除x=kπ(k=1，2，3，…)的点(f'(x)=0)外，f'(x)＜0，则f(x)在0≤x≤1单调上升，在x≥1单调减小，因此f(x)在[0，+∞)上取最大值f(1)．又当t≥0时sint≤t。于是当x≥0时有 f(x)≤f(1)=∫
0
1
(t一t
2
)sin
2n
tdt≤∫
0
1
(t一t
2
)
2n
dt
【答案解析】