解答题
6.设f(x)在(a，b)连续，x1，x2，…，xn∈(a，b)，α1，α2，…，αn为任意n个正数，求证：
∈(a，b)，使得
∈(a，b)，使得
【正确答案】依题设n个函数值f(x1)，f(x2)，…，f(xn)中一定有最小和最大的，不妨设
min{f(x1)，…，f(xn)}=f(x1)，max{f(x1)，…，f(x2)}=f(x2)，
则f(x1)≤
αif(xi)≤f(xn)．
记η=
αif(xi)，若η=f(x1)，则
=x1∈(a，b)，f(ξ)=η；若η=f(xn)，
则
=xn∈(a，b)，f(ξ)=η．
若f(x1)＜η＜f(xn)，
min{f(x1)，…，f(xn)}=f(x1)，max{f(x1)，…，f(x2)}=f(x2)，
则f(x1)≤
αif(xi)≤f(xn)．记η=
αif(xi)，若η=f(x1)，则=x1∈(a，b)，f(ξ)=η；若η=f(xn)，则
=xn∈(a，b)，f(ξ)=η．若f(x1)＜η＜f(xn)，
【答案解析】