问答题
设三阶方阵A满足Aα
1
=0，Aα
2
=2α
1
+α
2
，Aα
3
=-α
1
+3α
2
-α
3
，其中α
1
=[1，1，0]
T
，α
2
=[0，1，1]
T
，α
3
=[-1，0，1]
T
．
(1)求A；
(2)求对角矩阵A，使得A～A．
【正确答案】正确答案：(1)合并α
1
，α
2
，α
3
成矩阵，并由题设条件得 A[α
1
，α
2
，α
3
]=[0，2α
1
+α
2
，一α
1
+3α
2
一α
3
] =[α
1
，α
2
，α
3
]
由|α
1
，α
2
，α
3
|=
=2≠0，知[α
1
，α
2
，α
3
]可逆，且
(2)由(1)知 A[α
1
，α
2
，α
3
]=[α
1
，α
2
，α
3
]
故[α
1
，α
2
，α
3
]
-1
A[α
1
，α
2
，α
3
]=
又|λE一B|=
=λ(λ一1)(λ+1)，故B有三个不同的特征值λ
1
=0，λ
2
=1，λ
3
=一1．故B～Λ=
．由相似矩阵的传递性，得A～B～Λ，即A～Λ=
由|α
1
，α
2
，α
3
|=
=2≠0，知[α
1
，α
2
，α
3
]可逆，且
(2)由(1)知 A[α
1
，α
2
，α
3
]=[α
1
，α
2
，α
3
]
故[α
1
，α
2
，α
3
]
-1
A[α
1
，α
2
，α
3
]=
又|λE一B|=
=λ(λ一1)(λ+1)，故B有三个不同的特征值λ
1
=0，λ
2
=1，λ
3
=一1．故B～Λ=
．由相似矩阵的传递性，得A～B～Λ，即A～Λ=
【答案解析】