问答题
(Ⅰ)设函数y=y(x)由方程sin(x
2
+y
2
)+e
x
一xy
2
=0所确定，求
；
(Ⅱ)设e
x+y
=y确定y=y(x)，求y'，y"；
(Ⅲ)设函数y=f(x+y)，其中f具有二阶导数，且f'≠1，求
；
(Ⅱ)设e
x+y
=y确定y=y(x)，求y'，y"；
(Ⅲ)设函数y=f(x+y)，其中f具有二阶导数，且f'≠1，求
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)将原方程两边直接对x求导数，并注意y是x的函数，然后解出y'即可．由 (2x+2y．y')cos(x
2
+y
2
)+e
x
一y
2
—2xy．y'=0， 得
(Ⅱ)注意y是x的函数，将方程两端对x求导得 e
x+y
(1+y')=y'，即 y'=
．(这里用方程e
x+y
=y化简) 再将y'的表达式对x求导得
或将
的表达式，同样可求得
． (Ⅲ)y=y(x)由方程f(x+y)一y=0确定，f为抽象函数，若把f(x+y)看成f(u)，而u=x+y，y=y(x)，则变成复合函数和隐函数的求导问题．注意，f(x+y)及其导函数f'(x+y)均是x的复合函数． 将y=f(x+y)两边对x求导，并注意y是x的函数，f是关于x的复合函数，有 y'=f'．(1+y')， 即y'=
(其中f'=f'(x+y))． 又由y'=(1+y')f'再对x求导，并注意y'是x的函数，f'即f'(x+y)仍然是关于x的复合函数，有 y"=(1+y')'f'+(1+y')(f')'
x
=y"f'+(1+y')f"．(1+y')=y"f'+(1+y')
2
f"， 将y'=
代入并解出y"即得 y"=
(其中f'=f'(x+y)，f"=f"(x+y))． 或直接由y'=
再对x求导，同样可求得y"=
(Ⅱ)注意y是x的函数，将方程两端对x求导得 e
x+y
(1+y')=y'，即 y'=
．(这里用方程e
x+y
=y化简) 再将y'的表达式对x求导得
或将
的表达式，同样可求得
． (Ⅲ)y=y(x)由方程f(x+y)一y=0确定，f为抽象函数，若把f(x+y)看成f(u)，而u=x+y，y=y(x)，则变成复合函数和隐函数的求导问题．注意，f(x+y)及其导函数f'(x+y)均是x的复合函数． 将y=f(x+y)两边对x求导，并注意y是x的函数，f是关于x的复合函数，有 y'=f'．(1+y')， 即y'=
(其中f'=f'(x+y))． 又由y'=(1+y')f'再对x求导，并注意y'是x的函数，f'即f'(x+y)仍然是关于x的复合函数，有 y"=(1+y')'f'+(1+y')(f')'
x
=y"f'+(1+y')f"．(1+y')=y"f'+(1+y')
2
f"， 将y'=
代入并解出y"即得 y"=
(其中f'=f'(x+y)，f"=f"(x+y))． 或直接由y'=
再对x求导，同样可求得y"=
【答案解析】