解答题
5.(16年)设函数f(χ)＝∫01｜t2－χ2｜dt(χ＞0)，求f′(χ)，并求f(χ)的最小值．
【正确答案】当0＜χ≤1时，
f(χ)＝∫0χ｜t2－χ2｜dt＋∫χ1｜t2－χ2｜dt
＝∫0χ(χ2－t2)dt＋∫χ1(t2－χ2)dt
＝
当χ＞1时，f(χ)＝∫01(χ2－t2)dt＝χ2－
所以f(χ)＝
而
故
由f′(χ)＝0求得唯一驻点χ＝
，又f〞(
)＞0，从而χ＝
为f(χ)的最小值点，最小值为
f(χ)＝∫0χ｜t2－χ2｜dt＋∫χ1｜t2－χ2｜dt
＝∫0χ(χ2－t2)dt＋∫χ1(t2－χ2)dt
＝
当χ＞1时，f(χ)＝∫01(χ2－t2)dt＝χ2－
所以f(χ)＝
而
故
由f′(χ)＝0求得唯一驻点χ＝
，又f〞()＞0，从而χ＝为f(χ)的最小值点，最小值为【答案解析】