设f具有二阶连续偏导数，求下列函数的偏导数与全微分：
(Ⅰ)z=f(x
2
+y
2
，e
y
cosx)，求
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)利用一阶全微分形式不变性与全微分的四则运算法则可得 dz=f'
1
d(x
2
+y
2
)+f'
2
d(e
y
cosx) =(2xdx+2ydy)f'
1
+(一e
y
sinxdx+e
y
cosxdy)f'
2
=(2xf'
1
—e
y
sinxf'
2
)dx+(2yf'
1
+e
y
cosxf'
2
)dy， → z'
x
=2xf'
1
—e
y
sinxf'
2
，z'
y
=2yf'
1
+e
y
cosxf'
2
． 从而
=z"=(x'
x
)'
y
=(2xf'
1
—e
y
sinxf'
2
)'
y
=2x(f'
1
)'
y
一e
y
sinxf'
2
一e
y
sinx(f'
2
)'
y
=2x(2yf"
11
+e
y
cosxf"
12
)一e
y
sinxf'
2
一e
y
sinx(2yf"
21
+e
y
cosxf"
22
) =4xyf'
11
+2e
y
(xcosx—ysinx)f"
12
一e
2y
sinxcosxf"
22
一e
y
sinxf'
2
． (Ⅱ)u=
复合而成的x，y，z的三元函数．先求du(从而也就求得
)．由一阶全微分形式不变性及全微分的四则运算法则，得
=z"=(x'
x
)'
y
=(2xf'
1
—e
y
sinxf'
2
)'
y
=2x(f'
1
)'
y
一e
y
sinxf'
2
一e
y
sinx(f'
2
)'
y
=2x(2yf"
11
+e
y
cosxf"
12
)一e
y
sinxf'
2
一e
y
sinx(2yf"
21
+e
y
cosxf"
22
) =4xyf'
11
+2e
y
(xcosx—ysinx)f"
12
一e
2y
sinxcosxf"
22
一e
y
sinxf'
2
． (Ⅱ)u=
复合而成的x，y，z的三元函数．先求du(从而也就求得
)．由一阶全微分形式不变性及全微分的四则运算法则，得
【答案解析】