解答题
23.设f(x)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得
∫abf(x)dx=(b-a)
∫abf(x)dx=(b-a)
【正确答案】令F(x)=∫axf(t)dt，则F(x)在[a，b]上三阶连续可导，取x0=
，由泰勒公式得
F(a)=F(x0)+F'(x0)(a-x0)+
(a-x0)2+
(a-x0)3，ξ1∈(a，x0)，
F(b)=F(x0)+F'(x0)(b-x0)+
(b-x0)2+
(b-x0)3，ξ2∈(x0，b)，
两式相减得F(b)=F(a)=F'(x0)(b-a)+
[F'''(ξ1)+F'''(ξ2)]，即
∫abf(x)dx=(b-a)
[f''(ξ1)+f''(ξ2)]，
因为f''(x)在[a，b]上连续，所以存在ξ∈[ξ1，ξ2]
(a，b)，使得
f''(ξ)=
[f''(ξ1)+f''(ξ2)]，从而
∫abf(x)dx=(b-a)
，由泰勒公式得F(a)=F(x0)+F'(x0)(a-x0)+
(a-x0)2+(a-x0)3，ξ1∈(a，x0)，F(b)=F(x0)+F'(x0)(b-x0)+
(b-x0)2+(b-x0)3，ξ2∈(x0，b)，两式相减得F(b)=F(a)=F'(x0)(b-a)+
[F'''(ξ1)+F'''(ξ2)]，即∫abf(x)dx=(b-a)
[f''(ξ1)+f''(ξ2)]，因为f''(x)在[a，b]上连续，所以存在ξ∈[ξ1，ξ2]
(a，b)，使得f''(ξ)=
[f''(ξ1)+f''(ξ2)]，从而∫abf(x)dx=(b-a)
【答案解析】