设线性方程组(1)Ax=0的一个基础解系为α
1
=(1，1，1，0，2)
T
，α
2
=(1，1，0，1，1)
T
，α
3
=(1，0，1，1，2)
T
。线性方程组(2)Bx=0的一个基础解系为β
1
=(1，1，-1，-1，1)
T
，β
2
=(1，-1，1，-1，2)
T
，β
3
=(1，-1，-1，1，1)
T
。求
(Ⅰ)线性方程组(3)
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)线性方程组(1)Ax=0的通解为x=k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
；线性方程组(2)Bx=0的通解为x=l
1
β
1
+l
2
β
2
+l
3
β
3
；线性方程组(3)
的解是方程组(1)和(2)的公共解，故考虑线性方程组(4)k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=l
1
β
1
+l
2
β
2
+l
3
β
3
，将其系数矩阵作初等行变换，即
则方程组(4)的一个基础解系是(-2，0，2，-1，0，1)
T
。将其代入(4)得到方程组(3)的一个基础 解系ξ=-2α
1
+2α
2
=-β
1
+β
3
=(0，-2，0，2，0)
T
。所以方程组(3)的通解为 x=K(0，-1，0，1，0)
T
，其中K为任意常数。 (Ⅱ)线性方程组(3)
的解是方程组(1)和(2)的公共解，故考虑线性方程组(4)k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=l
1
β
1
+l
2
β
2
+l
3
β
3
，将其系数矩阵作初等行变换，即
则方程组(4)的一个基础解系是(-2，0，2，-1，0，1)
T
。将其代入(4)得到方程组(3)的一个基础 解系ξ=-2α
1
+2α
2
=-β
1
+β
3
=(0，-2，0，2，0)
T
。所以方程组(3)的通解为 x=K(0，-1，0，1，0)
T
，其中K为任意常数。 (Ⅱ)线性方程组(3)
【答案解析】