解答题
17.设曲线
＝1(正整数n≥1)在第一象限与坐标轴围成图形的面积为I(n)，证明：
(Ⅰ)I(n)＝2n∫01(1－t2)nt2n-1dt；
(Ⅱ)I(n)＝
sin2n-1tdt且I(n)＜
(n＞1)．
(Ⅲ)
＝1(正整数n≥1)在第一象限与坐标轴围成图形的面积为I(n)，证明：(Ⅰ)I(n)＝2n∫01(1－t2)nt2n-1dt；
(Ⅱ)I(n)＝
sin2n-1tdt且I(n)＜(n＞1)．(Ⅲ)
【正确答案】(Ⅰ)如图，由题设有y＝(1－
)n(0≤χ≤1)，从而
I(n)＝∫01y(χ)dχ＝∫01(1－
)ndχ．
令t2＝
，则χ＝t2n，于是
I(n)＝∫01(1－t2)n2nt2n-1dt＝2n∫01(1－t2)nt2n-1dt
(Ⅱ)对(Ⅰ)中的I(n)表达式，令t＝sinθ，则有
将①式作如下变形
)n(0≤χ≤1)，从而I(n)＝∫01y(χ)dχ＝∫01(1－
)ndχ．令t2＝
，则χ＝t2n，于是I(n)＝∫01(1－t2)n2nt2n-1dt＝2n∫01(1－t2)nt2n-1dt
(Ⅱ)对(Ⅰ)中的I(n)表达式，令t＝sinθ，则有
将①式作如下变形
【答案解析】