问答题设张三仅消费x和y两种商品，他的效用函数为u(L，x，y)=L^0.57x^0.06y^0.09，其中L是张三每周的闲暇小时数。试求他最大化其效用函数时：
(1)他将选择每周工作多少小时?
(2)他将把收入的多大比例用于购买x?
(3)他消费x的需求价格弹性。
(4)如果他的收入下降30%，y的价格下降50%，他将过得更好还是更坏?

【正确答案】(1)闲暇的价格可以被认为是工资率w，则每周的总收入为(24×7-L)w=168w-Lw。假设商品x和y的价格分别为p_x和p_y。
则张三的最优化问题可以表述为
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s.t.P_xx+p_yy=168w-Lw，即p_xx+p_yy+Lw=168w
利用拉格朗日乘数法可以解得：
L=133
因此，张三每周工作的时间为：168-L=168-133=35(小时)。
(2)张三每周的总收入为：(168-L)w=35w。
所以，张三用于x的商品的支出比例为
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(3)消费x的需求价格弹性为
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(4)原先张三的效用为
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因此，当收入下降30%，y的价格下降50%时，张三的效用为
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因为0.7^0.150.5^-0.09＞1，所以，u'＞u，因而消费者将过得更好。

【答案解析】