解答题
5.
设向量组(Ⅰ)：α
1
，α
2
，…，α
r
线性无关，且(Ⅰ)可由(Ⅱ)：β
1
，β
2
，…，β
s
线性表示．证明：存(Ⅱ)中至少存在一个向量β，使得β
j
，α
2
，…，α
r
线性无关．
【正确答案】
可用反证法：否则，对于j=1，2，…，s，向量组β
j
，α
2
，…，α
r
线性相关，又α
2
，…，α
r
线性无关，故β
j
可由α
2
，…，α
r
线性表示，→(Ⅱ)可由α
2
，…，α
r
线性表示，又已知α
1
可由(Ⅱ)线性表示，→α
1
可由α
2
，…，α
r
线性表示，这与(Ⅰ)线性无关矛盾．
【答案解析】
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