解答题
求函数f(x，y)=x2+2y2-x2y2在区域D={(x，y)|x2+y2≤4，y≥0}上的最大值与最小值．
【正确答案】
【答案解析】[解] 先求f(x，y)在D内部的驻点．由
f'x(x，y)=2x-2xy2=0，f'y(x，y)=4y-2x2y=0，
解得x=0或
或y=0.经配对之后，位于区域D内部的点为
经计算，有
再考虑D边界上的f(x，y)．在y=0上，f(x，0)=x2，最大值f(2，0)=4，最小值f(0，0)=0.又在x2+y2=4(y＞0)上，有
令g'(x)=4x3-10x=0，
得
有
比较以上函数值的大小，有
f'x(x，y)=2x-2xy2=0，f'y(x，y)=4y-2x2y=0，
解得x=0或
或y=0.经配对之后，位于区域D内部的点为经计算，有再考虑D边界上的f(x，y)．在y=0上，f(x，0)=x2，最大值f(2，0)=4，最小值f(0，0)=0.又在x2+y2=4(y＞0)上，有
令g'(x)=4x3-10x=0，
得
有
比较以上函数值的大小，有