设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f''(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且∫
a
b
φ(x)dx=1．证明：∫
a
b
f(x)φ(x)dx≥f∫
a
b
xφ(x)dx]．
【正确答案】正确答案：因为f''(x)≥0，所以有f(x)≥f(x
0
)+f'(x
0
)(x－x
0
)． 取x
0
=∫
a
b
xφ(x)dx，因为φ(x)≥0，所以aφ(x)≤xφ(x)≤bφ(x)，又∫
a
b
φ(x)dx=1， 于是有a≤∫
a
b
xφ(x)dx=x
0
≤b． 把x
0
=∫
a
b
xφ(x)dx代入f(x)≥f(x
0
)+f'(x
0
)(x－x
0
)中，再由φ(x)≥0，得 f(x)φ(x)≥f(x
0
)φ(x)+f'(x
0
)[xφ(x)－x
0
φ(x)]， 上述不等式两边再在区间[a，b]上积分，得∫
a
b
f(x)φ(x)dx≥f[∫
a
b
xφ(x)dx]．
【答案解析】