设D
1
是由曲线y=
和直线y=a及x=0所围成的平面区域；D
2
是由曲线y=
和直线y=a及x=1所围成的平面区域，其中0＜a＜1．
(Ⅰ)试求D
1
绕x轴旋转而成的旋转体体积V
1
；D
2
绕y轴旋转而成的旋转体体积V
2
(如图3．8)；
和直线y=a及x=0所围成的平面区域；D
2
是由曲线y=
和直线y=a及x=1所围成的平面区域，其中0＜a＜1．
(Ⅰ)试求D
1
绕x轴旋转而成的旋转体体积V
1
；D
2
绕y轴旋转而成的旋转体体积V
2
(如图3．8)；
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)D
1
与D
2
可分别表示为
在D
1
中对应横坐标为x→x+dx的小窄条绕x轴旋转一周形成一个圆环形薄片，其内半径为a，外半径为
，厚度为dx，故其体积为dV=π(1-x
2
-a
2
)dx，从而
在D
2
中对应横坐标为x→x+d戈的小窄条绕y轴旋转一周形成一个薄壁圆筒，其半径为x，高度为a-
，厚度为dx，故其体积为
，从而
在D
1
中对应横坐标为x→x+dx的小窄条绕x轴旋转一周形成一个圆环形薄片，其内半径为a，外半径为
，厚度为dx，故其体积为dV=π(1-x
2
-a
2
)dx，从而
在D
2
中对应横坐标为x→x+d戈的小窄条绕y轴旋转一周形成一个薄壁圆筒，其半径为x，高度为a-
，厚度为dx，故其体积为
，从而
【答案解析】