问答题
设函数f(x)在|x|≤1上有定义，在x=0的某个邻域内具有二阶连续导数，且
=0，试证：级数
=0，试证：级数
【正确答案】利用泰勒公式。首先由
可知：
，而且
。
这样，利用函数f(x)的一阶泰勒公式，就有
(0＜θ＜1)。
又因为f(x)在x=0的某一邻域内有连续的二阶导数，因此存在正数M，使|f"(x)|≤M在此邻域内成立，并且当n充分大时
。
注意到级数
收敛，由比较判别法即知
可知：，而且。这样，利用函数f(x)的一阶泰勒公式，就有
(0＜θ＜1)。又因为f(x)在x=0的某一邻域内有连续的二阶导数，因此存在正数M，使|f"(x)|≤M在此邻域内成立，并且当n充分大时
。注意到级数
收敛，由比较判别法即知【答案解析】[考点] 级数的收敛性