问答题
设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=g"(ξ)．
【正确答案】
【答案解析】[证]令F(x)=f(x)-g(x)，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且F(a)=F(b)=0．
(1)若f(x)，g(x)在(a，b)内同一点c取得最大值，则f(c)=g(c)
F(c)=0，于是由罗尔定理可知，存在ξ
1
∈(a，c)，ξ
2
∈(c，b)，使得
F"(ξ 1 )=F"(ξ 2 )=0，
再利用罗尔定理可知，存在ξ∈(ξ 1 ，ξ 2 )
(a，b)，使得F"(ξ)=0，即f"(ξ)=g"(ξ)．
(2)若f(x)，g(x)在(a，b)内不同点c 1 ，c 2 取得最大值，则f(c 1 )=g(c 2 )=M，于是F(c 1 )=f(c 1 )-g(c 1 )＞0，F(c 2 )=f(c 2 )-g(c 2 )＜0．
于是由零值定理可知，存在c 3 ∈(c 1 ，c 2 )，使得F(c 3 )=0．
由罗尔定理可知，存在ξ 1 ∈(a，c 3 )，ξ 2 ∈(c 3 ，b)，使得
F"(ξ 1 )=F"(ξ 2 )=0．
再利用罗尔定理可知，存在ξ∈(ξ 1 ，ξ 2 )
(1)若f(x)，g(x)在(a，b)内同一点c取得最大值，则f(c)=g(c)
F(c)=0，于是由罗尔定理可知，存在ξ
1
∈(a，c)，ξ
2
∈(c，b)，使得
F"(ξ 1 )=F"(ξ 2 )=0，
再利用罗尔定理可知，存在ξ∈(ξ 1 ，ξ 2 )
(a，b)，使得F"(ξ)=0，即f"(ξ)=g"(ξ)．
(2)若f(x)，g(x)在(a，b)内不同点c 1 ，c 2 取得最大值，则f(c 1 )=g(c 2 )=M，于是F(c 1 )=f(c 1 )-g(c 1 )＞0，F(c 2 )=f(c 2 )-g(c 2 )＜0．
于是由零值定理可知，存在c 3 ∈(c 1 ，c 2 )，使得F(c 3 )=0．
由罗尔定理可知，存在ξ 1 ∈(a，c 3 )，ξ 2 ∈(c 3 ，b)，使得
F"(ξ 1 )=F"(ξ 2 )=0．
再利用罗尔定理可知，存在ξ∈(ξ 1 ，ξ 2 )