单选题
某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告，根据统计资料，销售收入R(万元)与电台广告费用x
1
(万元)及报纸广告费用x
2
(万元)之间的关系有如下经验公式：
R=15+14x
1
+32x
2
－8x
1
x
2
－2x
1
2
－10x
2
2
．
(1)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；
(2)若提供的广告费用为1．5万元，求相应的最优广告策略．
【正确答案】正确答案：所谓最优广告策略，是指该公司销售商品能获得最大利润． 其中(1)在广告费用不限的情况下求最优广告策略为无约束极值问题；(2)在限定广告费用的情况下求最优广告策略为条件极值问题． (1)在广告费用不限的情况下，利润函数为 S=R－(x
1
+x
2
) =15+14x
1
+32x
2
－8x
1
x
2
－2x
1
2
－10x
2
2
－(x
1
+x
2
) =15+13x
1
+31x
2
－8x
1
x
2
－2x
1
2
－10x
2
2
， 则
=－4x
1
－8x
2
+13，
=－8x
1
－20x
2
+31． 令
=0，可解得x
1
=0．75，x
2
=1．25． 由于
B
2
－AC=－16＜0， A=－4＜0， 所以利润函数S在(x
1
，x
2
)=(0．75，1．25)处达到极大值，亦是最大值． 所以当电台广告费用为0．75万元，报纸广告费用为1．25万元时能获得最大利润． (2)若提供的广告费用为1．5万元，则利润函数为S=15+13x
1
+31x
2
－8x
1
x
2
－2x
1
2
－10x
2
2
，问题转化为在条件x
1
+x
2
=1．5下求S的极大值．构造拉格朗日函数 L(x
1
，x
2
，λ)=15+13x
1
+31x
2
－8x
1
x
2
－2x
1
2
－10x
2
2
+λ(x
1
+x
2
－1．5)， 令
=－4x
1
－8x
2
+13，
=－8x
1
－20x
2
+31． 令
=0，可解得x
1
=0．75，x
2
=1．25． 由于
B
2
－AC=－16＜0， A=－4＜0， 所以利润函数S在(x
1
，x
2
)=(0．75，1．25)处达到极大值，亦是最大值． 所以当电台广告费用为0．75万元，报纸广告费用为1．25万元时能获得最大利润． (2)若提供的广告费用为1．5万元，则利润函数为S=15+13x
1
+31x
2
－8x
1
x
2
－2x
1
2
－10x
2
2
，问题转化为在条件x
1
+x
2
=1．5下求S的极大值．构造拉格朗日函数 L(x
1
，x
2
，λ)=15+13x
1
+31x
2
－8x
1
x
2
－2x
1
2
－10x
2
2
+λ(x
1
+x
2
－1．5)， 令
【答案解析】