设函数f(x)在[0，1]二阶可导，且f(0)=f′(0)=f′(1)=0，f(1)=1．求证：存在ξ∈(0，1)，使｜f″(ξ)｜≥4．
【正确答案】正确答案：把函数f(x)在x=0与x=1分别展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，得 f(x)=f(0)+f′(0)x+
f″(ξ
1
)x
2
(0＜ξ
1
＜x)， f(x)=f(1)+f′(1)(x－1)+
f″(ξ
2
)(x－1)
2
(x＜ξ
2
＜1)． 在公式中取x=
并利用题设可得
两式相减消去未知的函数值
即得f″(ξ
1
)－f″(ξ
2
)=8
f″(ξ
1
)x
2
(0＜ξ
1
＜x)， f(x)=f(1)+f′(1)(x－1)+
f″(ξ
2
)(x－1)
2
(x＜ξ
2
＜1)． 在公式中取x=
并利用题设可得
两式相减消去未知的函数值
即得f″(ξ
1
)－f″(ξ
2
)=8
【答案解析】