已知4阶矩阵A=(α 1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 ),其中α 2 ,α 3 ,α 4 线性无关,α 1 =2α 23 .又设β=α 1234 ,求AX=β的通解.
【正确答案】正确答案:方法一AX=β用向量方程形式写出为x 1 α 1 +x 2 α 2 +x 3 α 3 +x 4 α 4 =β,其导出组为x 1 α 1 +x 2 α 2 +x 3 α 3 +x 4 α 4 =0.条件β=α 1234 说明(1,1,1,1) T 是AX=β的一个特解.α 1 =2α 23 说明(1,-2,1,0) T 是导出组的一个非零解.又从α 2 ,α 3 ,α 4 线性无关和α 1 =2α 23 .得到r(A)=3,从而导出组的基础解系只含4-r(A)=1个解,从而(1,-2,1,0) T 为基础解系.AX=β的通解为 (1,1,1,1) T +c(1,-2,1,0) T ,c可取任意数. 方法二把α 1 =2α 23 和β=α 1234 代入x 1 α 1 +x 2 α 2 +x 3 α 3 +x 4 α 4 =β,得 x 1 (2α 23 )+x 2 α 2 +x 3 α 3 +x 4 α 4 =2α 23234 , 整理得 (2x 1 +x 22 +(-x 1 +x 33 +x 4 α 4 =3α 24 , 由于α 2 ,α 3 ,α 4 线性无关,得同解方程组 解此方程组
【答案解析】