解答题
[2003年] 某建筑工地打地基时，需用汽锤将桩打进土层．汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而做功，设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k，k＞0)，汽锤第一次击打将桩打进地下a(m)(m表示米)．根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之比为常数r(0＜r＜1)，问：
问答题
18.汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深?
【正确答案】设第n次击打后，桩被打进地下xn，第n次击打时，汽锤所做的功为Wn(n=1，2，…)．由题设知，当桩被打进地下的深度为x时，土层对桩的阻力的大小为kx，所以
W1=∫0x1kxdx=
W2=∫x1x2kxdx=
由W2=W1可得x22一a2=ra2，即x22=(1+r)a2．
W3=∫x2x3kxdx=
由W3=rW2=r2W1可得x32一(1+r)a2=r2a2，即x3=
，即汽锤击打3次后，可将桩打进地下
W1=∫0x1kxdx=
W2=∫x1x2kxdx=
由W2=W1可得x22一a2=ra2，即x22=(1+r)a2．
W3=∫x2x3kxdx=
由W3=rW2=r2W1可得x32一(1+r)a2=r2a2，即x3=
，即汽锤击打3次后，可将桩打进地下【答案解析】
问答题
19.若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深?
【正确答案】由归纳法求解．设xn=
，则
Wn+1=∫xnxn+1kxdx=
由于Wn+1=rWn=r2Wn-1=…=rnW1，故得
xn+12一(1+r+…+rn-1)a2=rna2，
从而
于是
(因0＜r＜1)，即若不限击打次数，汽锤至多能将桩打进地下
，则Wn+1=∫xnxn+1kxdx=
由于Wn+1=rWn=r2Wn-1=…=rnW1，故得
xn+12一(1+r+…+rn-1)a2=rna2，
从而
于是
(因0＜r＜1)，即若不限击打次数，汽锤至多能将桩打进地下【答案解析】