问答题
计算二重积分
【正确答案】正确答案：
[cosx
2
siny
2
+sin(x+y)]dσ=
cosx
2
siny
2
dσ+
sin(x+y)dσ，将D中的x与y交换，D不变(D关于直线y=x对称)，所以
中，将被积函数中的x与y交换，该积分的值亦不变．于是有 I
1
=
cosx
2
siny
2
dσ=
cosy
2
sinx
2
dσ， 从而 2I
1
=
(cosx
2
siny
2
+cosy
2
sinx
2
)dσ=
sin(x
2
+y
2
)dσ I
1
=
sin(x
2
+y
2
)dσ=
sinr
2
.rdrdθ=
rsinr
2
dr
由于sinx是x的奇函数，siny是y的奇函数，且D既对称于y轴，又对称于x轴，所以
[cosx
2
siny
2
+sin(x+y)]dσ=
cosx
2
siny
2
dσ+
sin(x+y)dσ，将D中的x与y交换，D不变(D关于直线y=x对称)，所以
中，将被积函数中的x与y交换，该积分的值亦不变．于是有 I
1
=
cosx
2
siny
2
dσ=
cosy
2
sinx
2
dσ， 从而 2I
1
=
(cosx
2
siny
2
+cosy
2
sinx
2
)dσ=
sin(x
2
+y
2
)dσ I
1
=
sin(x
2
+y
2
)dσ=
sinr
2
.rdrdθ=
rsinr
2
dr
由于sinx是x的奇函数，siny是y的奇函数，且D既对称于y轴，又对称于x轴，所以
【答案解析】