解答题
18.设f(x)在[1，+∞)内可导，f′(x)＜0且
=a＞0，令an=
－∫－1nf(x)dx．证明：{an}收敛且0≤
=a＞0，令an=－∫－1nf(x)dx．证明：{an}收敛且0≤
【正确答案】因为f′(x)＜0，所以f(x)单调减少．
又因为an+1－an=f(n+1)－∫nn－1f(x)dx=f(n+1)－f(ξ)≤0(ξ∈[n，n+1])，
所以{an}单调减少．
因为an=
，而∫kk+1[f(k)－f(x)]dx≥0(k=1，2，…，n－1)
且
=a＞0，所以存在X＞0，当x＞X时，f(x)＞0．
由f(x)单调递减得f(x)＞0(x∈[1，+∞))，故an≥f(n)＞0，所以
存在
由an=f(1)+[f(2)－∫12f(x)dx]+…+[f(n)－∫n－1nf(x)dx]，
而f(k)－∫k－1kf(x)dx≤0(k=2，3，…，n)，所以an≤f(1)，从而0≤
又因为an+1－an=f(n+1)－∫nn－1f(x)dx=f(n+1)－f(ξ)≤0(ξ∈[n，n+1])，
所以{an}单调减少．
因为an=
，而∫kk+1[f(k)－f(x)]dx≥0(k=1，2，…，n－1)且
=a＞0，所以存在X＞0，当x＞X时，f(x)＞0．由f(x)单调递减得f(x)＞0(x∈[1，+∞))，故an≥f(n)＞0，所以
存在由an=f(1)+[f(2)－∫12f(x)dx]+…+[f(n)－∫n－1nf(x)dx]，
而f(k)－∫k－1kf(x)dx≤0(k=2，3，…，n)，所以an≤f(1)，从而0≤
【答案解析】