单选题
设n维向量组α
1
，α
2
，α
3
，α
4
的秩为4，且
β
1
=α
1
+k
1
α
2
，β
2
=α
2
+k
2
α
3
，β
3
=α
3
+k
3
α
4
，
求向量组β
1
，β
2
，β
3
的秩．
【正确答案】正确答案：解法1从向量组线性无关的定义出发． 设数λ
1
，λ
2
，λ
3
，使得 λ
1
β
1
+λ
2
β
2
+λ
3
β
3
=0， 即λ
1
α
1
+(λ
1
k
1
+λ
2
)α
2
+(k
2
λ
2
+λ
3
)α
3
+λ
3
k
3
α
4
=0， 又由于α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性无关，于是有 λ
1
=0，λ
1
k
1
+λ
2
=0，k
2
λ
2
+λ
3
=0，λ
3
k
3
=0， 即λ
1
=λ
2
=λ
3
=0，因此，β
1
，β
2
，β
3
线性无关，从而得r(β
1
，β
2
，β
3
)=3． 解法2从向量组的转换关系入手． 不妨设β
4
=0α
1
+0α
2
+0α
3
+0α
4
，于是有 (β
1
，β
2
，β
3
，β
4
)
【答案解析】解析：求一个向量组的秩，可以从向量组的线性关系出发，寻求一个最大无关组，该最大无关组的向量个数就是所求向量组的秩，如本题，β
1
，β
2
，β
3
线性无关，本身就是最大无关组，故秩为3．由于β
1
，β
2
，β
3
由另一个无关向量组线性表示，利用表达式可构造两向量组之间转换关系式及转换矩阵，一般的转换矩阵为方阵，因此，补充了一个向量β
4
．在确定转换矩阵的基础上，再求转换矩阵的秩即向量组的秩．