解答题
19.设二次型f(x1，x2，x3)=(a-1)x12+(a-1)x22+2x32+2x1x2(a＞0)的秩为2．
(1)求a；(2)用正交变换法化二次型为标准形．
(1)求a；(2)用正交变换法化二次型为标准形．
【正确答案】(1)A=
，因为二次型的秩为2，所以r(A)=2，从而a=2．
(2)A=
，由｜λE-A｜=0得λ1=λ2=2，λ3=0．
当λ=2时，由(2E-A)X=0得λ=2对应的线性无关的特征向量为α1=
，α2=
当λ=0时，由(0E-A)X=0得λ=0对应的线性无关的特征向量为α3=
因为α1，α2两两正交，单位化得
令
，QTAQ=
，则f=XTAX
，因为二次型的秩为2，所以r(A)=2，从而a=2．(2)A=
，由｜λE-A｜=0得λ1=λ2=2，λ3=0．当λ=2时，由(2E-A)X=0得λ=2对应的线性无关的特征向量为α1=
，α2=当λ=0时，由(0E-A)X=0得λ=0对应的线性无关的特征向量为α3=
因为α1，α2两两正交，单位化得
令
，QTAQ=，则f=XTAX【答案解析】