问答题
设向量组(I)与向量组(Ⅱ)，若(I)可由(Ⅱ)线性表示，且r(I)=r(Ⅱ)=r，证明：(I)与(Ⅱ)等价．
【正确答案】正确答案：设(I)的一个极大无关组为ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
r
，(Ⅱ)的一个极大无关组为η
1
，η
2
，…，η
r
. 因为(I)可由(Ⅱ)线性表示，即ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
r
可由η
1
，η
2
，…，η
r
线性表示，于是 r(ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
r
，η
1
，η
2
，…，η
r
)=r(η
1
，η
2
，…，η
r
)=r. 又ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
r
线性无关，则ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
r
也可作为ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
r
，η
1
，η
2
，…，η
r
的一个极大无关组，于是η
1
，η
2
，…，η
r
也可由ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
r
线性表示，即(Ⅱ)也可由(I)线性表示，得证．
【答案解析】