(1998年)设y＝y(χ)是一向上凸的连续曲线，其上任一点(χ，y)处的曲率为
【正确答案】正确答案：因曲线向上凸，则y〞＜0；由题设有
化简，即为y〞＝－(1＋y
′2
) 曲线经过点(0，1)，故y(0)＝1，又因为在该点的切线方程为y＝χ＋1，即切线斜率为1，于是y′(0)＝1． 现在归结为求
的特解． 令y′＝P，y〞＝P′，于是得P′＝－(1＋P
2
) 分离变量解得arctanP＝C
1
－χ，以P(0)＝1代入，得 C
1
＝arctan1＝
，所以y′＝P＝tan(
－χ)．再积分得
以y(0)＝1代入，得C
2
＝1＋
ln2，故所求曲线方程为
取其含有χ＝0在内的连续的一支为
当
时，cos(
－χ)→0，y→－∞，故此函数无极小值．当χ＝
时，y为极大，极大值y＝1＋
化简，即为y〞＝－(1＋y
′2
) 曲线经过点(0，1)，故y(0)＝1，又因为在该点的切线方程为y＝χ＋1，即切线斜率为1，于是y′(0)＝1． 现在归结为求
的特解． 令y′＝P，y〞＝P′，于是得P′＝－(1＋P
2
) 分离变量解得arctanP＝C
1
－χ，以P(0)＝1代入，得 C
1
＝arctan1＝
，所以y′＝P＝tan(
－χ)．再积分得
以y(0)＝1代入，得C
2
＝1＋
ln2，故所求曲线方程为
取其含有χ＝0在内的连续的一支为
当
时，cos(
－χ)→0，y→－∞，故此函数无极小值．当χ＝
时，y为极大，极大值y＝1＋
【答案解析】