问答题
已知向量组α1=(1,1,0,2)T，α2=(-1,0,1,1)T，α3=(2,3,a,7)T，α4=(-1,5,3,a+11)T线性相关，而且向量β=(1,0,2,6)T可由α1，α2，α3，α4线性表出．
(Ⅰ)求a,b的值；
(Ⅱ)试将β用α1，α2，α3，α4线性表出；
(Ⅲ)求向量组α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组．并将向量组中其余向量用该极大线性无关组线性表出．
【正确答案】[分析与求解] (Ⅰ)设x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β，对增广矩阵(α1,α2,α3,α4,β)加减消元，有
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因为α1，α2，α3，α4线性相关，而且β可以由α1，α2，α3，α4线性表出，故知秩
r(α1,α2,α3,α4)=r(α1,α2,α3,α4,β)＜4．
可知a=1且b=3或者a=5，b=-1．
(Ⅱ)若a=1，且b=3
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(Ⅲ)当a=1时，极大线性无关组是α1，α2，α4，而α3=3α1+α2+0α4
当a=5时，极大线性无关组是α1，α2，α3，而[*]
【答案解析】[评注] 如果只是向量组α1，α2，α3，α4线性相关求a的值，那么用行列式|α1,α2,α3,α4|=0较简便．若还涉及线性表出，则用r(α1,α2,α3,α4)=r(α1,α2,α3，α4，β)＜4方便．
要会求向量组的极大线性无关组，并将向量组中其余向量用极大线性无关组线性表出．