设φ(x)是方程y"+y=0的满足条件y(0)=0，y’(0)=1的解，证明方程y”+y=f(x)满足条件y(0)=y’(0)=0的解为
y=∫
0
x
φ(t)f(x-t)dt．
【正确答案】正确答案：由y"+y=0，得通解 y=C
1
cosx+C
2
sinx． 再由y(0)=0，y’(0)=1，得C
1
=0，C
2
=1，故 φ(x)=sinx． 下面验证y=∫
0
x
sin tf(x一t)dt是非齐次方程初值问题的解．令u=x一t，则有 y=一∫
x
0
sin(x一u)f(u)du=∫
0
x
sin(x-u)f(u)du =sinx∫
0
x
cos uf(u)du-cosx∫
0
x
sinuf(u)du， y’=cos x∫
0
x
cos uf(u)du+sin x∫
0
x
sin uf(u)du， y”=sinx∫
0
x
cosuf(u)du+cos x∫
0
x
sinuf(u)du+f(x) =-y+f(x)， 且y(0)=y’(0)=0．
【答案解析】