解答题
30.设函数a1﹤a2﹤...﹤an,且函数f(x)在[a1,an]f(a1)=f(a2)=...=f(an)=0.证明：存在ε∈（a1，an）,使得
【正确答案】证明：当c=ai(i=1,2,...,n)时，对任意的ε∈（a1,an),结论成立；
设c为异于a1,a2,...an的数，不妨设a1＜c＜a2＜...＜an,令
,
构造辅助函数Φ(x)=f(x)-k(x-a1)（x-a2)...(x-an),显然Φ（x)在[a1,an]上n阶可导，且Φ（a1）=Φ（c)=Φ(a2)=...=Φ(an)=0,由罗尔定理，存在
在（a1,an)内至少有n个不同零点，重复使用罗尔定理，则Φn-1(x)在（a1,an)内至少有两个不同零点，设为c1,c2∈(a1,an),使得Φn-1（c1）=Φn-1（c1）=0，再由罗尔定理，存在ε∈（c1，c2）
(a1,an),使得Φ(n)(ε)=0,而Φ(n)(x)=f(n)(x)-n!k,所以f(n)(ε)=n!k,从而有
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设c为异于a1,a2,...an的数，不妨设a1＜c＜a2＜...＜an,令
,构造辅助函数Φ(x)=f(x)-k(x-a1)（x-a2)...(x-an),显然Φ（x)在[a1,an]上n阶可导，且Φ（a1）=Φ（c)=Φ(a2)=...=Φ(an)=0,由罗尔定理，存在
在（a1,an)内至少有n个不同零点，重复使用罗尔定理，则Φn-1(x)在（a1,an)内至少有两个不同零点，设为c1,c2∈(a1,an),使得Φn-1（c1）=Φn-1（c1）=0，再由罗尔定理，存在ε∈（c1，c2）(a1,an),使得Φ(n)(ε)=0,而Φ(n)(x)=f(n)(x)-n!k,所以f(n)(ε)=n!k,从而有.【答案解析】