解答题
[2016年]设二维随机变量(X，Y)在区域D=((x，y)｜0＜x＜1，x2＜y＜
)上服从均匀分布．令
)上服从均匀分布．令
问答题
8.写出(X，Y)的概率密度；
【正确答案】易求得区域D的面积
，故(X，Y)的概率密度
，故(X，Y)的概率密度【答案解析】
问答题
9.问U与X是否相互独立?并说明理由；
【正确答案】考查事件{U=0}与
乘积的概率
是否与事件
{U=0}
的概率的乘积
相等．事实上，它们不相等．易求得
显然
，故U与X不独立．
乘积的概率是否与事件{U=0}
的概率的乘积相等．事实上，它们不相等．易求得显然
，故U与X不独立．【答案解析】
问答题
10.求Z=U+X的分布函数FZ(z)．
【正确答案】下面用全集分解法求f(u，v)的分布函数FZ(z)=P(Z≤z)=P(U+X≤z)．
FZ(z)=P(U+X≤z)=P(U=0，U+X≤z)+P(U=1，U+X≤z)
=P(U=0，X≤z)+P(U=1，U≤z—1)=P(X＞y，X≤z)+P(X≤Y，X≤z一1)
注意到x取值的边界点为0，1，而U取值边界点也为0，1，因而z的取值的分段点为0，1，2．于是应分下述四种情况分别求出FZ(z)的表示式．
①z＜0时，则P(X≤z)=
=0，P(X≤z—1)=
=0，故FZ(z)=0．
②0≤z＜1时，
③1≤z＜2时，
④z≥2时，FZ(z)=P(X＞Y)+P(X≤y)=P(U=0)+P(U=1)=1．
综上所述，Z的分布函数为
FZ(z)=P(U+X≤z)=P(U=0，U+X≤z)+P(U=1，U+X≤z)
=P(U=0，X≤z)+P(U=1，U≤z—1)=P(X＞y，X≤z)+P(X≤Y，X≤z一1)
注意到x取值的边界点为0，1，而U取值边界点也为0，1，因而z的取值的分段点为0，1，2．于是应分下述四种情况分别求出FZ(z)的表示式．
①z＜0时，则P(X≤z)=
=0，P(X≤z—1)==0，故FZ(z)=0．②0≤z＜1时，
③1≤z＜2时，
④z≥2时，FZ(z)=P(X＞Y)+P(X≤y)=P(U=0)+P(U=1)=1．
综上所述，Z的分布函数为
【答案解析】