设向量组(Ⅰ)α
1
，α
2
，α
3
；(Ⅱ)α
1
，α
2
，α
3
，α
4
；(Ⅲ)α
1
，α
2
，α
3
，α
5
，若向量组(Ⅰ)与向量组 (Ⅱ)的秩为3，而向量组(Ⅲ)的秩为4．证明：向量组α
1
，α
2
，α
3
，α
5
－α
4
的秩为4．
【正确答案】正确答案：因为向量组(Ⅰ)的秩为3，所以α
1
，α
2
，α
3
线性无关，又因为向量组(Ⅱ)的秩也为3，所以向量α
4
可由向量组α
1
，α
2
，α
3
线性表示．因为向量组(Ⅲ)的秩为4，所以α
1
，α
2
，α
3
，α
5
线性无关，即向量α
5
不可由向量组α
1
，α
2
，α
3
线性表示，故向量α
5
－α
4
不可由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，所以α
1
，α
2
，α
3
，α
5
－α
4
线性无关，于是向量组α
1
，α
2
，α
3
，α
5
－α
4
的秩为4．
【答案解析】