问答题
设y=y(x)是区间(-π,π)内过点
【正确答案】
【答案解析】[解] 当-π＜x＜0时，设(x，y)为曲线上任一点，由导数的几何意义，法线斜率为
由题意，法线斜率为
所以有
分离变量，解得x 2 +y 2 =C，由初始条件
所以
当0≤x＜π时，y"+y+x=0的通解为
y=C 1 cos x+C 2 sin x-x， ②
y"=-C 1 sin x+C 2 cos x-1． ③
因为曲线y=y(x)光滑，所以y(x)连续且其导函数也连续，由①式知
代入②、③式，得C 1 =π，C 2 =1，故y=πcos x+sin x-x，0≤x＜π．
综上，知
由题意，法线斜率为
所以有
分离变量，解得x 2 +y 2 =C，由初始条件
所以
当0≤x＜π时，y"+y+x=0的通解为
y=C 1 cos x+C 2 sin x-x， ②
y"=-C 1 sin x+C 2 cos x-1． ③
因为曲线y=y(x)光滑，所以y(x)连续且其导函数也连续，由①式知
代入②、③式，得C 1 =π，C 2 =1，故y=πcos x+sin x-x，0≤x＜π．
综上，知