设A为3阶矩阵，α
1
，α
2
，α
3
是线性无关的3维列向量，且满足
Aα
1
=α
1
+α
2
+α
3
，Aα
2
=2α
2
+α
3
，Aα
3
=2α
2
+3α
3
。
(Ⅰ)求矩阵B使得A(α
1
，α
2
，α
3
)=(α
1
，α
2
，α
3
)B；
(Ⅱ)求矩阵A的特征值；
(Ⅲ)求可逆矩阵P使得P
-1
AP为对角矩阵。
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)根据题设有 A(α
1
，α
2
，α
3
)=(Aα
1
，Aα
2
，Aα
3
)=(α
1
+α
2
+α
3
，2α
2
+α
3
，2α
2
+3α
3
) =(α
1
，α
2
，α
3
)
于是
(Ⅱ)令P
1
=(α
1
，α
2
，α
3
)，因为α
1
，α
2
，α
3
线性无关，所以P
1
可逆，且由(Ⅰ)的结论P
1
-1
AP
1
=B，可知A～B。 由B的特征方程 ｜λE-B｜=
=(λ-1)
2
(λ-4)=0 得矩阵B的特征值为1，1，4，由相似矩阵的性质可知矩阵A的特征值也是1，1，4。 (Ⅲ)由(Ⅱ)的结论知B的特征值分别是1，1，4，于是解(E-B)x=0，得矩阵B属于特征值1的线性无关的特征向量β
1
=(-1，1，0)
T
，β
2
=(-2，0，1)
T
；解(4E-B)x=0，得矩阵B属于特征值4的特征向量β
2
=(0，1，1)
T
。 令P
2
=(β
1
，β
2
，β
3
)，则有 P
2
-1
BP
2
=
将P
1
-1
AP
1
=B代入可得 P
2
-1
P
1
-1
AP
1
P
2
=
令 P=P
1
P
2
=(α
1
，α
2
，α
3
)
=(-α
1
+α
2
，-2α
1
+α
3
，α
2
+α
3
)， 则 P
-1
AP=
于是
(Ⅱ)令P
1
=(α
1
，α
2
，α
3
)，因为α
1
，α
2
，α
3
线性无关，所以P
1
可逆，且由(Ⅰ)的结论P
1
-1
AP
1
=B，可知A～B。 由B的特征方程 ｜λE-B｜=
=(λ-1)
2
(λ-4)=0 得矩阵B的特征值为1，1，4，由相似矩阵的性质可知矩阵A的特征值也是1，1，4。 (Ⅲ)由(Ⅱ)的结论知B的特征值分别是1，1，4，于是解(E-B)x=0，得矩阵B属于特征值1的线性无关的特征向量β
1
=(-1，1，0)
T
，β
2
=(-2，0，1)
T
；解(4E-B)x=0，得矩阵B属于特征值4的特征向量β
2
=(0，1，1)
T
。 令P
2
=(β
1
，β
2
，β
3
)，则有 P
2
-1
BP
2
=
将P
1
-1
AP
1
=B代入可得 P
2
-1
P
1
-1
AP
1
P
2
=
令 P=P
1
P
2
=(α
1
，α
2
，α
3
)
=(-α
1
+α
2
，-2α
1
+α
3
，α
2
+α
3
)， 则 P
-1
AP=
【答案解析】