已知二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 -4x 1 x 2 -4x 1 x 3 +2ax 2 x 3 通过正交变换x=Py化成标准形f=3y 1 2 +3y 2 2 +by 3 2 ,求参数a,b及正交矩阵P。
【正确答案】正确答案:由题意,二次型f及其标准形的矩阵分别是 在正交变换下A与Λ相似,故有 =-2(a+2) 2 =0, 解得a=-2,b=-3。 于是,矩阵A的特征值是3,3,-3。 当λ=3时,由(3E-A)x=0,系数矩阵 得基础解系α 1 =(-1,1,0) t ,α 2 =(-1,0,1) T ,即λ=3有两个线性无关的特征向量。 当λ=-3时,由(-3E-A)x=0,系数矩阵 得基础解系α 3 =(1,1,1) T ,即λ=-3的特征向量。 由于λ=3的特征向量α 1 ,α 2 不正交,故需施密特正交化。 令β 11 = ,则 β 22 -([α 2 ,β 1 ]/[β 1 ,β 1 ])β= 将三个特征向量单位化,有 那么,所用坐标变换x=Py中,正交矩阵 P=(γ 1 ,γ 2 ,γ 3 )=
【答案解析】