(1998年)设χ∈(0，1)，证明
(1)(1＋χ)ln
2
(1＋χ)＜χ
2
；
(2)
【正确答案】正确答案：(1)令φ(χ)＝(1＋χ)ln
2
(1＋χ)－χ
2
，φ(0)＝0 φ′(χ)＝ln
2
(1＋χ)＋2ln(1＋χ)－2χ，φ′(0)＝0
于是φ〞(χ)在(0，1)内严格单调减少，又φ〞(0)＝0，所以在(0，1)内φ〞(χ)<0．于是φ′(χ)在(0，1)内严格单调减少，又φ′(0)＝0，故在(0，1)内φ′(χ)＜0．故φ(χ)在(0，1)内严格单调减少．又φ(0)＝0，故在(0，1)内φ(χ)＜0．
由(1)知f′(χ)＜0，(当χ∈(0，1))，于是可知f(χ)在(0，1)上严格单调减少，f(1)＝
一1，故当χ∈(0，1)时． f(χ)＝
不等式左边证毕．又
故当χ∈(0，1)时，f(χ)＝
于是φ〞(χ)在(0，1)内严格单调减少，又φ〞(0)＝0，所以在(0，1)内φ〞(χ)<0．于是φ′(χ)在(0，1)内严格单调减少，又φ′(0)＝0，故在(0，1)内φ′(χ)＜0．故φ(χ)在(0，1)内严格单调减少．又φ(0)＝0，故在(0，1)内φ(χ)＜0．
由(1)知f′(χ)＜0，(当χ∈(0，1))，于是可知f(χ)在(0，1)上严格单调减少，f(1)＝
一1，故当χ∈(0，1)时． f(χ)＝
不等式左边证毕．又
故当χ∈(0，1)时，f(χ)＝
【答案解析】