解答题
已知α1=(1，3，5，-1)T，α2=(2，7，a，4)T，a3=(5，17，-1，7)T,
(Ⅰ)若α1，α2，α3线性相关，求a的值；
(Ⅱ)当a=3时，求与α1，α2，α3都正交的非零向量α4；
(Ⅲ)当a=3时，证明α1，α2，α3，α4可表示任一个4维列向量.
(Ⅰ)若α1，α2，α3线性相关，求a的值；
(Ⅱ)当a=3时，求与α1，α2，α3都正交的非零向量α4；
(Ⅲ)当a=3时，证明α1，α2，α3，α4可表示任一个4维列向量.
【正确答案】
【答案解析】(Ⅰ)α1，α2，α3线性相关
秩r(α1，α2，α3)＜3. 由于
所以a=-3.
(Ⅱ)设α4=(x1，x2，x3，x4)T，则有(α1，α4)=0，(α2，α4)=0，(α3，α4)=0，即
所以α4=k(19，-6，0，1)T，其中k≠0.
(Ⅲ)由于
所以x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α恒有解，即任-4维列向量必可由α1，α2，α3，α4线性表出.
或者由(Ⅰ)知a=3时，α1，α2，α3必线性无关，那么：若
k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0,
用
左乘上式两端并利用
，有
秩r(α1，α2，α3)＜3. 由于所以a=-3.
(Ⅱ)设α4=(x1，x2，x3，x4)T，则有(α1，α4)=0，(α2，α4)=0，(α3，α4)=0，即
所以α4=k(19，-6，0，1)T，其中k≠0.
(Ⅲ)由于
所以x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α恒有解，即任-4维列向量必可由α1，α2，α3，α4线性表出.
或者由(Ⅰ)知a=3时，α1，α2，α3必线性无关，那么：若
k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0,
用
左乘上式两端并利用，有