解答题
23.设A是一个n阶方阵，满足A2=A，R(A)=r，且A有两个不同的特征值．
(Ⅰ)试证A可对角化，并求对角阵A；
(Ⅱ)计算行列式｜A-2E｜．
(Ⅰ)试证A可对角化，并求对角阵A；
(Ⅱ)计算行列式｜A-2E｜．
【正确答案】(I)设λ是A的特征值，由于A2=A，所以λ2=λ，且A有两个不同的特征值，从而A的特征值为0和1．
又因为A2=A，即A(A—E)=O，故R(A)+R(A—E)=n，事实上，因为A(A—E)=O，所以R(A)+R(A—E)≤n另一方面，由于E—A与A—E的秩相同，则有n=R(E)=R[(E—A)+A]≤R(A)+R(E—A)=R(A)+R(A—E)，从而R(A)+R(A—E)=n．
当λ=1时，因为R(A—E)=n—R(A)=n—r，从而齐次线性方程组(E—A)x=0的基础解系含有r个解向量，因此，A属于特征值1有r个线性无关特征向量，记为η1，η2，…，ηr．
当λ=0时，因为R(A)=r，从而齐次线性方程组(0·E—A)x=0的基础解系含n一r个解向量．
因此，A属于特征值0有n—r个线性无关的特征向量，记为ηr+1，ηr+2，…，ηn．
于是η1，η2，…，ηn是A的n个线性无关的特征向量，所以A可对角化，并且对角阵为
又因为A2=A，即A(A—E)=O，故R(A)+R(A—E)=n，事实上，因为A(A—E)=O，所以R(A)+R(A—E)≤n另一方面，由于E—A与A—E的秩相同，则有n=R(E)=R[(E—A)+A]≤R(A)+R(E—A)=R(A)+R(A—E)，从而R(A)+R(A—E)=n．
当λ=1时，因为R(A—E)=n—R(A)=n—r，从而齐次线性方程组(E—A)x=0的基础解系含有r个解向量，因此，A属于特征值1有r个线性无关特征向量，记为η1，η2，…，ηr．
当λ=0时，因为R(A)=r，从而齐次线性方程组(0·E—A)x=0的基础解系含n一r个解向量．
因此，A属于特征值0有n—r个线性无关的特征向量，记为ηr+1，ηr+2，…，ηn．
于是η1，η2，…，ηn是A的n个线性无关的特征向量，所以A可对角化，并且对角阵为
【答案解析】只需证明A有n个线性无关的特征向量，即可说明A可相似对角化，而对角阵主对角线上的元素即为A的特征值．