解答题
5.(15年)设矩阵A＝
相似于矩阵B＝
相似于矩阵B＝
【正确答案】(Ⅰ)由于矩阵A与B相似，所以二矩阵有相同的迹(主对角线元素之和)、有相同的行列式，由此得
a＋3＝b＋2，2a－3＝b
解得a＝4，b＝5．
(Ⅱ)由于矩阵A与B相似，所以它们有相同的特征多项式：
｜λE－A｜＝｜λE－B｜＝(λ－1)2(λ－5)
由此得A的特征值为λ1＝λ2＝1，λ3＝5
对于λ1＝λ2＝1，解方程组(E－A)χ＝0，有
．
得对应于λ1＝λ2＝1的线性无关特征向量
对于λ3＝5，解方程组(5E－A)χ＝0，由
得对应于λ＝5的特征向量
ξ3＝
令矩阵P＝[ξ1 ξ2 ξ3]＝
则矩阵P可作为所求的可逆矩阵，使得
P-1AP＝
a＋3＝b＋2，2a－3＝b
解得a＝4，b＝5．
(Ⅱ)由于矩阵A与B相似，所以它们有相同的特征多项式：
｜λE－A｜＝｜λE－B｜＝(λ－1)2(λ－5)
由此得A的特征值为λ1＝λ2＝1，λ3＝5
对于λ1＝λ2＝1，解方程组(E－A)χ＝0，有
．得对应于λ1＝λ2＝1的线性无关特征向量
对于λ3＝5，解方程组(5E－A)χ＝0，由
得对应于λ＝5的特征向量
ξ3＝
令矩阵P＝[ξ1 ξ2 ξ3]＝
则矩阵P可作为所求的可逆矩阵，使得
P-1AP＝
【答案解析】