设f(x)具有二阶导数,且f"(x)>0.又设u(t)在区间[0,a](或[a,0])上连续,试证明:
【正确答案】正确答案:由泰勒公式 f(x)=f(x 0 )+f"(x 0 )(x一x 0 )+ f"(ξ)(x—x 0 ) 2 ≥f(x 0 )+f"(x 0 )(x—x 0 ),ξ介于x与x 0 之间. 以x=u(t)代入并两边对t从0到a积分,其中暂设a>0,于是有 ∫ 0 x f[u(t)]dt≥af(x 0 )+f"(x 0 )[∫ 0 x u(t)dt—x 0 a].
【答案解析】解析:由条件f"(x)>0,想到将f(x)在某x 0 处展成带有拉格朗日余项的泰勒公式,然后丢弃f"(ξ)得到一个不等式以处理之.